数学难题被攻下 23年来首次突破

有意思的是，这甚至还是个“意外”收获：

陶哲轩弟子、刚上研究生二年级的James Leng（以下简称小冷）原本试图延续另一位菲尔兹奖得主——蒂莫西·高尔斯的理论研究。

但搞了一年多，他几乎是“一无所获”。

就在一筹莫展之时，他遇上了赵宇飞的两位天才学生——本科期间就联手发了十几篇论文的Ashwin Sah（以下简称小萨）和Mehtaab Sawhney（以下简称索哥）。

三人一碰头，顿时灵光乍现：小冷这研究思路用到塞迈雷迪定理上，那说不定真能整出点新进展。

几个月后，都还在攻读博士学位的三个年轻人真的做到了——

23年首次突破组合数学难题

小冷、小萨和索哥的这项研究，是组合数学领域的一大难题，是对塞迈雷迪定理的进一步研究。

塞迈雷迪定理由2012年阿贝尔奖得主、匈牙利数学家塞迈雷迪·安德烈（Szemerédi Endre，注：匈牙利人的习惯是姓前名后）于1975年证明，其中说到：

若一个整数集A具有正的自然密度，则对任意的正整数k，都可以在A中找出一个包含k项的等差数列。

所谓具有正自然密度，就是当n趋于无穷时，A与1,2,…,n这个数列的交集中元素个数与n的比值大于0。

比较著名的反例就是2,4,8…这样的等比数列，它们被认为在数轴上“过于稀疏”，不具备正自然数密度。

这个理论的猜想由两名匈牙利数学家埃尔德什·帕尔（Erdős Pál）和图兰·帕尔（Turán Pál）在1936年提出。

显然对于k=1和2的情况，这个结论毫无疑问是成立的，k=3的情况则在1953年由英国数学家克劳斯·罗特证明。

到了1969年，塞迈雷迪用组合数学方法证明了k=4的情况，直到最终证明该结论对任意k均成立。

后来，又有数学家利用遍历理论、傅里叶分析等其他方法证明了这一结论。

这也让陶哲轩为之感慨，还把该定理的众多证明称为“罗塞塔石碑”，因为它们连结了几个乍看起来完全不同的数学分支。

但总之，塞迈雷迪定理的证明并不是一个终点，而且还开启了新的讨论。

塞迈雷迪定理还有另一种表述形式——

若在正整数1-N中取一个子集，使得对于某一k值，在该子集中找不到长度为k的等差数列；

则当N趋近于无穷时，该子集的大小r_k(N)与N的比值趋近于0。

不过这个比值趋近于0的速度究竟是怎样的，仍然是一个未知数，也就成了后续这几十年的研究课题。

前面提到，有人用傅里叶分析方法给出了塞迈雷迪定理的新证明，这个人就是1998年菲尔兹奖得主、英国数学家蒂莫西·高尔斯（Timothy Gowers）。

更重要的是，高尔斯同时给出了r_k(N)与N比值的上界，即该比值下降的速度不会慢于某个特定的函数。

这个函数长这样：

此后的20多年来，不断有人针对具体k值，对r(N)的范围给出了更精确的上界。

比如在2017年，陶哲轩和英国数学家本·格林（Ben Green）一起给出了k=4时的新上界。

然而，对k取任意值的情况一直未有新的进展，直到这次研究的出现。

2022年，正在加州大学洛杉矶分校（UCLA）读研二的小冷开始研究起了高尔斯的理论。

不过他脑海里的是高尔斯提出的几个技术问题，并没有想到塞迈雷迪定理。

一年很快过去，小冷没有得到任何成果，但他的研究引起了小萨和索哥的注意。

他们意识到，小冷的研究可能有助于在塞迈雷迪定理上取得进一步进展。

于是三位年轻的数学家走到了一起，并在几个月之内就想出了k=5时更精确的上界。

直到今年，三人又把这一结论推广到了k为任意取值的情况，成为了23年以来在这个问题上最重大的突破。

证明的核心在于应用了高尔斯U^(k+1)范数的逆定理，这是一个与傅里叶分析相关的高级工具，它提供了一种衡量函数在某种意义上接近于零的方法。

该逆定理也是由三人发现的，用了足足100页的论文进行阐述。

其中指出，如果一个函数在范数意义上足够大，那么它必然与某些具有特定结构的序列相关联，这些序列在数学上被称为“结构性对象”。

利用这个逆定理，作者们将问题从原始的整数集合，转移到了具有特定代数结构的nilmanifolds流形上。

通过深入分析这些流形上的nil序列，作者们实现了对这些序列在整数集合上变化的控制。

然后，他们通过对集合进行分解并运用密度增量策略，逐步增加不包含k项等差数列的子集密度，直到达到某一阈值或无法继续增加。

经过迭代这个过程，作者们证明了存在一个足够大的子集，其密度远高于之前的结果，实现了k=5时结论向着更高k值的推广。

陶哲轩赵宇飞的天才学生们

三位作者中，小冷（James Leng）目前就读于加州大学洛杉矶分校（UCLA），师从菲尔兹奖得主陶哲轩。

他的主要研究方向是算术组合学、动力系统和傅里叶分析。

而小萨（Ashwin Sah）和索哥（Mehtaab Sawhney）都是MIT副教授赵宇飞的学生。

小萨其人，不可谓不是一位“天才少年”。

他是2016年国际奥林匹克数学竞赛（IMO）金牌得主，2018年还获得过首届阿里巴巴全球数学竞赛银奖。

刚上大一，小萨就跑去听了赵宇飞研究生级别的组合数学课。这迅速引起了赵宇飞的注意：

尽管他只是大一的学生，但很显然，他已经掌握了这门课程。

就在本科期间，小萨已经有20多篇数学论文在手——并且他只用了两年半时间就从MIT本科毕业了。

其中，还包括在拉姆齐数方面的重大突破：给出了拉姆齐数的新上限，被认为是“使用现有研究线索可以获得的最佳结果”。

索哥（Mehtaab Sawhney）比小萨高一年级，他同样在本科期间就参与了赵宇飞的组合数学课程。

打从本科起，索哥和小萨就是彼此的科研搭子，关系密切到索哥主页列出的70篇论文里，有60篇都带小萨的名字。

而导师赵宇飞在本科时对他俩的评价就是：

（MIT）的本科生研究有着悠久的历史和传统，但在论文的质量和数量上，都达不到Ashwin Sah和Mehtaab Sawhney的水平。

目前，索哥已经率先博士毕业，获得了哥伦比亚大学的教职，还在今年年初被任命为克莱研究员。

△小萨索哥和赵宇飞合影，图源：MIT

两位老友的合作仍在继续，这也令外界感到期待。他们的导师赵宇飞是这样说的：

他们的非凡之处在于总能理解极具技术挑战的事物并加以改进。

很难用语言概括他们的整体成就。

参考链接：

[1]https://arxiv.org/abs/2402.17995

[2]https://www.quantamagazine.org/grad-students-find-inevitable-patterns-in-big-sets-of-numbers-20240805/

[3]https://en.wikipedia.org/wiki/Szemer%C3%A9di%27s_theorem